Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Escribe $\frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ como una función.

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4

Divide $2 x^{2} + 5$ por $x^{2} + 1$ .

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Paso 4.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Paso 4.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

							$2$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Paso 4.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$2$

Paso 4.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{2} + 0 + 2$ .

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$

Paso 4.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$
									+	$3$

Paso 4.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 2 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 d x + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$2 x + C + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 8.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C$ .

$2 x + C + 3 (\arctan (x) + C)$

Paso 10

Simplifica.

$2 x + 3 \arctan (x) + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $2 x + 3 \arctan (x) + C$