Cálculo Ejemplos

${(x - 4)}^{2} + (y + 3) = 25$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta ${(x - 4)}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y + 3 = 25 - {(x - 4)}^{2}$

Paso 1.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 25 - {(x - 4)}^{2} - 3$

Paso 1.3

Resta $3$ de $25$ .

$y = - {(x - 4)}^{2} + 22$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = 4$

$k = 22$

Paso 3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(4, 22)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, \frac{87}{4})$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 4$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{89}{4}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(4, 22)$

Foco: $(4, \frac{87}{4})$

Eje de simetría: $x = 4$

Directriz: $y = \frac{89}{4}$

Paso 10