Cálculo Ejemplos

$\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x}$

Paso 1

Escribe $\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x}$ como una función.

$f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Paso 6.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Paso 6.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Paso 6.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Paso 6.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Paso 8

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 e^{x} d x$

Paso 10

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int e^{x} d x$

Paso 11

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (e^{x} + C)$

Paso 12

Simplifica.

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) - 2 e^{x} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x}$ .

$F (x) =$ $8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) - 2 e^{x} + C$