Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Paso 1.2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Paso 1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Paso 1.2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Paso 1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Paso 1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Paso 1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.6.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Paso 1.2.6.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Paso 1.2.6.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Paso 1.3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} \cos (- 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Paso 1.3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{3 \cos (lim_{x \to - 1} - 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Paso 1.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- lim_{x \to - 1} 1 - lim_{x \to - 1} x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Paso 1.3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 1} x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Paso 1.3.6

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 1} x) - 1 \cdot 3}$

Paso 1.3.7

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 + 1) - 1 \cdot 3}$

Paso 1.3.7.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.7.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 + 1) - 1 \cdot 3}$

Paso 1.3.7.2.1.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{3 \cos (0) - 1 \cdot 3}$

Paso 1.3.7.2.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Paso 1.3.7.2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Paso 1.3.7.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Paso 1.3.7.2.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.7.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.7.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 \cos (- 1 - x) - 3} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \cos (- 1 - x) - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)]$ .

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Paso 3.6.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos (- 1 - x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos (- 1 - x)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \frac{d}{d x} [\cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = - 1 - x$ .

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Paso 3.6.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.6.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.6.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.6.3

Según la regla de la suma, la derivada de $- 1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.6.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.6.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.6.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.6.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.6.8

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.6.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (1 \sin (- 1 - x)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.6.10

Multiplica $\sin (- 1 - x)$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x) + 0}$

Paso 3.8

Suma $3 \sin (- 1 - x)$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x)}$

Paso 4

Como la función se acerca a $- \infty$ desde la izquierda y a $\infty$ desde la derecha, el límite no existe.

$No existe$