Cálculo Ejemplos

$e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$

Paso 1

Escribe $e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$ como una función.

$f (x) = e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x}) d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 3 e^{- 2 x}) d x$

Paso 4.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\int e^{x} + e^{x} (- 3 e^{- 2 x}) d x$

Paso 4.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\int e^{x} - 3 e^{x} e^{- 2 x} d x$

Paso 4.4

Multiplica $e^{x}$ por $e^{- 2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1

Mueve $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{x} - 3 (e^{- 2 x} e^{x}) d x$

Paso 4.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int e^{x} - 3 e^{- 2 x + x} d x$

Paso 4.4.3

Suma $- 2 x$ y $x$ .

$\int e^{x} - 3 e^{- x} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int e^{x} d x + \int - 3 e^{- x} d x$

Paso 6

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{x} + C + \int - 3 e^{- x} d x$

Paso 7

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$e^{x} + C - 3 \int e^{- x} d x$

Paso 8

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 8.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{x} + C - 3 \int - e^{u} d u$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{x} + C - 3 (- \int e^{u} d u)$

Paso 10

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$e^{x} + C + 3 \int e^{u} d u$

Paso 11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{x} + C + 3 (e^{u} + C)$

Paso 12

Simplifica.

$e^{x} + 3 e^{u} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$ .

$F (x) =$ $e^{x} + 3 e^{- x} + C$