Cálculo Ejemplos

$3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.9

Combina $3$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.10

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.12

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.9.2

Resta $3$ de $1$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.11

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.12

Combina $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.13

Multiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.13.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.14

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.15

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.16

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.2.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$