Cálculo Ejemplos

$\sqrt{\frac{x}{y}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{x}{y}}$ como ${(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 8

Como $\frac{1}{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{y \cdot 2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{1}{2 \cdot y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 11

Multiplica $\frac{1}{2 y}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\frac{1}{2 y} {(\frac{y}{x})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 12.2

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{1}{2 y} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3

Combina los términos.

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Paso 12.3.1

Multiplica $\frac{1}{2 y}$ por $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 y x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.2

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 y x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.3

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.3.1

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (y^{- \frac{1}{2}} y) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.3.2

Multiplica $y^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ .

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Paso 12.3.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2 (y^{- \frac{1}{2}} y^{1}) x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2 y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2 y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.3.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$