Cálculo Ejemplos

Let $h (x) = \frac{e^{x}}{x - 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x e^{x} - 1 e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.4.2.1

Reescribe $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.4.3

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.4.4

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x - 2 e^{x}$ .

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Paso 1.1.4.4.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.4.4.2

Factoriza $e^{x}$ de $- 2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.4.4.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $h (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$e^{x} (x - 2) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 2.3.2.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 2.3.2.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.3.2.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 2.3.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4

Evalúa $\frac{e^{x}}{x - 1}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{e^{2}}{(2) - 1}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{e^{2}}{1}$

Paso 4.1.2.2

Divide $e^{2}$ por $1$ .

$e^{2}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{e^{1}}{(1) - 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{e^{1}}{0}$

Paso 4.2.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(2, e^{2})$

Paso 5