Cálculo Ejemplos

$\int x^{5} e^{1 - x^{6}} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - x^{6}$ . Entonces $d u = - 6 x^{5} d x$ , de modo que $- \frac{1}{6} d u = x^{5} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - x^{6}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{6}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{6}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$0 - (6 x^{5})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$0 - 6 x^{5}$

Paso 1.1.4

Resta $6 x^{5}$ de $0$ .

$- 6 x^{5}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 6} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int e^{u} (- \frac{1}{6}) d u$

Paso 2.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{6} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{e^{u}}{6} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{6} \int e^{u} d u)$

Paso 5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

Paso 6

Simplifica.

$- \frac{1}{6} e^{u} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{6}$ .

$- \frac{1}{6} e^{1 - x^{6}} + C$