Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$ como $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Paso 3

Reescribe $x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$ como $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}}}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.2.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.5

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.2.5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.5.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 - 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.2.7.1

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.7.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.7.3

Divide $1$ por $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2.7.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 4.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x - 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x - 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Paso 4.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.4

Multiplica $\frac{x - 1}{x + 1}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.10

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.13

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.14

Suma $1$ y $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.15

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.16

Multiplica $\frac{x - 1}{x + 1}$ por $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.17

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.17.1

Factoriza $x - 1$ de $(x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.17.2

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.17.3

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.18

Simplifica.

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Paso 4.3.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.18.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.18.2.1

Combina los términos opuestos en $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Paso 4.3.18.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.18.2.1.2

Resta $1$ de $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.18.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.18.2.3

Resta $1$ de $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.18.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.19

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Paso 4.3.20

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{- x^{- 2}}}$

Paso 4.3.21

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Paso 4.5

Combina factores.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} x^{2}}$

Paso 4.5.2

Multiplica $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} x^{2}}$

Paso 4.5.3

Combina $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ y $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Paso 5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Paso 6

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 6.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 6.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}}$

Paso 6.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}}$

Paso 6.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 6.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}}$

Paso 6.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}}$

Paso 6.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Paso 6.1.3.4

Reordena $x$ y $- 1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Paso 6.1.3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Paso 6.1.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Paso 6.1.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Paso 6.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 6.1.3.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Paso 6.1.3.8.2

Simplifica.

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Paso 6.1.3.8.2.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}}$

Paso 6.1.3.8.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}}$

Paso 6.1.3.8.3

Suma $- 1 x$ y $x$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}}$

Paso 6.1.3.8.4

Resta $1$ de $0$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}}$

Paso 6.1.3.9

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 6.1.3.10

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 6.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 6.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}$

Paso 6.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 6.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}}$

Paso 6.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}}$

Paso 6.3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Paso 6.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Paso 6.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Paso 6.3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Paso 6.3.7

Suma $1$ y $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Paso 6.3.8

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Paso 6.3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Paso 6.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Paso 6.3.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}}$

Paso 6.3.12

Suma $1$ y $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}}$

Paso 6.3.13

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + x - 1}}$

Paso 6.3.14

Suma $x$ y $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1 - 1}}$

Paso 6.3.15

Resta $1$ de $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 0}}$

Paso 6.3.16

Suma $2 x$ y $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}$

Paso 6.4

Reduce.

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.1.1

Cancela el factor común.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}$

Paso 6.4.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Paso 6.4.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{2 lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{2 \cdot 1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e^{2}$

Forma decimal:

$7.38905609 \dots$