Cálculo Ejemplos

$\ln (\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}$ .

$1 \frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}}$ por $1$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{3}}}{x^{4} - 7 x + 1}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x^{3}}$ y $g (x) = x^{4} - 7 x + 1$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Paso 6

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 7 x + 1]}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 7 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Paso 6.4

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Paso 6.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Paso 6.6

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Paso 6.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7 + 0)}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Paso 6.8

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.1

Suma $4 x^{3} - 7$ y $0$ .

$\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}} \cdot \frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Paso 6.8.2

Multiplica $\frac{x^{4} - 7 x + 1}{e^{x^{3}}}$ por $\frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{{(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(x^{4} - 7 x + 1) ((x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7))}{e^{x^{3}} {(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}}$

Paso 7

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Factoriza $x^{4} - 7 x + 1$ de $e^{x^{3}} {(x^{4} - 7 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x^{4} - 7 x + 1) ((x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7))}{(x^{4} - 7 x + 1) (e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1))}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{4} - 7 x + 1) ((x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7))}{(x^{4} - 7 x + 1) (e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1))}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{4} - 7 x + 1) e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1)}$

Paso 8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{4} e^{x^{3}} - 7 x e^{x^{3}} + 1 e^{x^{3}}) (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1)}$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{4} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3} - 7)}{e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1)}$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{4} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} (x^{4} - 7 x + 1)}$

Paso 8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{4} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 x^{4} e^{x^{3}} x^{2} - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.1.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{4}) e^{x^{3}} - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2 + 4} e^{x^{3}} - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.1.2.3

Suma $2$ y $4$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.1.3

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 (x^{2} x) e^{x^{3}} \cdot 3 + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.1.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 (x^{2} x^{1}) e^{x^{3}} \cdot 3 + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 x^{2 + 1} e^{x^{3}} \cdot 3 + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.1.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 7 x^{3} e^{x^{3}} \cdot 3 + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.1.4

Multiplica $3$ por $- 7$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 1 e^{x^{3}} (3 x^{2}) - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 1 \cdot 3 e^{x^{3}} x^{2} - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.1.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} - e^{x^{3}} (4 x^{3}) - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} - 1 \cdot 4 e^{x^{3}} x^{3} - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.1.8

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} - 4 e^{x^{3}} x^{3} - e^{x^{3}} \cdot - 7}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.1.9

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} - 4 e^{x^{3}} x^{3} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.2

Resta $4 e^{x^{3}} x^{3}$ de $- 21 x^{3} e^{x^{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.2.1

Mueve $e^{x^{3}}$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 21 x^{3} e^{x^{3}} - 4 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.2.2

Resta $4 x^{3} e^{x^{3}}$ de $- 21 x^{3} e^{x^{3}}$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 25 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.5.3

Reordena los factores en $3 x^{6} e^{x^{3}} - 25 x^{3} e^{x^{3}} + 3 e^{x^{3}} x^{2} + 7 e^{x^{3}}$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 25 x^{3} e^{x^{3}} + 3 x^{2} e^{x^{3}} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}} \cdot 1}$

Paso 8.6

Multiplica $e^{x^{3}}$ por $1$ .

$\frac{3 x^{6} e^{x^{3}} - 25 x^{3} e^{x^{3}} + 3 x^{2} e^{x^{3}} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} + e^{x^{3}} (- 7 x) + e^{x^{3}}}$

Paso 8.7

Reordena los términos.

$\frac{3 e^{x^{3}} x^{6} - 25 e^{x^{3}} x^{3} + 3 e^{x^{3}} x^{2} + 7 e^{x^{3}}}{e^{x^{3}} x^{4} - 7 e^{x^{3}} x + e^{x^{3}}}$