Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 - 4 x}{8 - 64 x^{3}}$

Paso 1

Cancela el factor común de $2 - 4 x$ y $8 - 64 x^{3}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1) - 4 x}{8 - 64 x^{3}}$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1) + 2 (- 2 x)}{8 - 64 x^{3}}$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- 2 x)$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{8 - 64 x^{3}}$

Paso 1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 \cdot 4 - 64 x^{3}}$

Paso 1.4.2

Factoriza $2$ de $- 64 x^{3}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 \cdot 4 + 2 (- 32 x^{3})}$

Paso 1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (4) + 2 (- 32 x^{3})$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 (4 - 32 x^{3})}$

Paso 1.4.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 (4 - 32 x^{3})}$

Paso 1.4.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 2 x}{4 - 32 x^{3}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1 - 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Paso 2.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{1 - 2 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 32 x^{3}}$

Paso 2.1.3.1.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 32 x^{3}}$

Paso 2.1.3.1.3

Mueve el término $32$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{4 - 32 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3}}$

Paso 2.1.3.1.4

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{4 - 32 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3}}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{0}{4 - 32 {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 - 32 \frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Paso 2.1.3.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{4 - 32 \frac{1}{2^{3}}}$

Paso 2.1.3.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{0}{4 - 32 (\frac{1}{8})}$

Paso 2.1.3.3.1.4

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 2.1.3.3.1.4.1

Factoriza $8$ de $- 32$ .

$\frac{0}{4 + 8 (- 4) \frac{1}{8}}$

Paso 2.1.3.3.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{0}{4 + 8 \cdot - 4 \frac{1}{8}}$

Paso 2.1.3.3.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{4 - 4}$

Paso 2.1.3.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 2 x}{4 - 32 x^{3}} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Paso 2.3.5

Resta $2$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Paso 2.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - 32 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]}$

Paso 2.3.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]}$

Paso 2.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

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Paso 2.3.8.1

Como $- 32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 32 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 2.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 - 32 (3 x^{2})}$

Paso 2.3.8.3

Multiplica $3$ por $- 32$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 - 96 x^{2}}$

Paso 2.3.9

Resta $96 x^{2}$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{- 96 x^{2}}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $- 96$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $- 2$ de $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1)}{- 96 x^{2}}$

Paso 2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 96 x^{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1)}{- 2 (48 x^{2})}$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 (48 x^{2})}$

Paso 2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{48 x^{2}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $\frac{1}{48}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{48} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 3.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{48} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{48 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.2

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{48 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{48 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{48 \frac{1}{2^{2}}}$

Paso 5.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{48 (\frac{1}{4})}$

Paso 5.4

Combina $48$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{48}{4}}$

Paso 5.5

Divide $48$ por $4$ .

$\frac{1}{12}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{12}$

Forma decimal:

$0.08\overline{3}$