Cálculo Ejemplos

$\int x (x^{2} + 7) (\frac{1}{3}) d x$

Paso 1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$\int \frac{x}{3} (x^{2} + 7) d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Entonces $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ , de modo que $3 d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 2.1.2

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 u_{1})}^{2} + 7) d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Factoriza $3$ de $3 u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 (u_{1}))}^{2} + 7) d u_{1}$

Paso 3.2

Aplica la regla del producto a $3 (u_{1})$ .

$\int 3 u_{1} (3^{2} {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Paso 3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int 3 u_{1} (9 {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Entonces $d u_{2} = 18 u_{1} d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{18} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2} + 7]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $9 {u_{1}}^{2} + 7$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $9 {u_{1}}^{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 (2 u_{1}) + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $9$ .

$18 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $7$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $7$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$18 u_{1} + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $18 u_{1}$ y $0$ .

$18 u_{1}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int 3 u_{2} \frac{1}{18} d u_{2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{18}$ y $3$ .

$\int \frac{3}{18} u_{2} d u_{2}$

Paso 5.2

Combina $\frac{3}{18}$ y $u_{2}$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{18} d u_{2}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $3$ y $18$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $3$ de $3 u_{2}$ .

$\int \frac{3 (u_{2})}{18} d u_{2}$

Paso 5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $3$ de $18$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Paso 5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{u_{2}}{6} d u_{2}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \int u_{2} d u_{2}$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 8.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{1}{12} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 9

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 9.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{1}{12} {(9 {u_{1}}^{2} + 7)}^{2} + C$

Paso 9.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{x}{3})}^{2} + 7)}^{2} + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{1}{3} x)}^{2} + 7)}^{2} + C$