Cálculo Ejemplos

$\int e^{\frac{2 x}{3}} d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{2 x}{3}$ . Entonces $d u = \frac{2}{3} d x$ , de modo que $\frac{3}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{2 x}{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{2}{3}$ .

$\int e^{u} (1 (\frac{3}{2})) d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\int e^{u} \frac{3}{2} d u$

Paso 2.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{e^{u} \cdot 3}{2} d u$

Paso 2.4

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{u}$ .

$\int \frac{3 e^{u}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} \int e^{u} d u$

Paso 4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{3}{2} (e^{u} + C)$

Paso 5

Simplifica.

$\frac{3}{2} e^{u} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + C$

Paso 7

Reordena los términos.

$\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} + C$