Cálculo Ejemplos

$\int \cos^{2} (2 - 5 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 2 - 5 x$ . Entonces $d u_{1} = - 5 d x$ , de modo que $- \frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 2 - 5 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 5 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 1.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$0 - 5$

Paso 1.1.4

Resta $5$ de $0$ .

$- 5$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{- 5} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \cos^{2} (u_{1}) (- \frac{1}{5}) d u_{1}$

Paso 2.2

Combina $\cos^{2} (u_{1})$ y $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 5

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$- \frac{1}{5} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$- \frac{1}{10} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$- \frac{1}{10} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 10

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 11

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 13

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Paso 14

Simplifica.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 - 5 x$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Paso 15.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 - 5 x$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (2 (2 - 5 x))) + C$