Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{10} x^{- 4} + \frac{4}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + 2 x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{10} x^{- 4} + \frac{4}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 4}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{10} x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$\frac{1}{10} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Combina $- 4$ y $\frac{1}{10}$ .

$\frac{- 4}{10} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.2.4

Combina $\frac{- 4}{10}$ y $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 x^{- 5}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.2.5

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{10 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.2.6

Cancela el factor común de $- 4$ y $10$ .

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Paso 1.2.6.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{10 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $10 x^{5}$ .

$\frac{2 (- 2)}{2 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4}{5} x^{5}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $\frac{4}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{5} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.3.3

Combina $5$ y $\frac{4}{5}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.3.4

Multiplica $5$ por $4$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.3.5

Combina $\frac{20}{5}$ y $x^{4}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $20$ y $5$ .

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Paso 1.3.6.1

Factoriza $5$ de $20 x^{4}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.6.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + \frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.3.6.2.4

Divide $4 x^{4}$ por $1$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{4}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{2} x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - \frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.4.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 4 (\frac{3}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.4.4

Combina $- 4$ y $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.4.5

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{- 12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.4.6

Combina $\frac{- 12}{2}$ y $x^{3}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{- 12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.4.7

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

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Paso 1.4.7.1

Factoriza $2$ de $- 12 x^{3}$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{2 (- 6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.4.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{2 (- 6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.4.7.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{2 (- 6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.4.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} + \frac{- 6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.4.7.2.4

Divide $- 6 x^{3}$ por $1$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 6 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 6 x^{3} + 2 (2 x)$

Paso 1.5.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{2}{5 x^{5}} + 4 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x$

Paso 1.6

Reordena los términos.

$f' (x) = 4 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x - \frac{2}{5 x^{5}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x - \frac{2}{5 x^{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{4}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$16 x^{3} - 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Paso 2.4.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{5}}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $- \frac{2}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{5 x^{5}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Paso 2.5.2

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 2.5.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 2.5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 2.5.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 2.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Paso 2.5.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Paso 2.5.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Paso 2.5.5.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Paso 2.5.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Paso 2.5.7

Multiplica $x^{- 10}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.7.1

Mueve $x^{4}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Paso 2.5.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Paso 2.5.7.3

Resta $10$ de $4$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 - \frac{2}{5} (- 5 x^{- 6})$

Paso 2.5.8

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + 5 (\frac{2}{5}) x^{- 6}$

Paso 2.5.9

Combina $5$ y $\frac{2}{5}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{5 \cdot 2}{5} x^{- 6}$

Paso 2.5.10

Multiplica $5$ por $2$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{10}{5} x^{- 6}$

Paso 2.5.11

Combina $\frac{10}{5}$ y $x^{- 6}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{10 x^{- 6}}{5}$

Paso 2.5.12

Mueve $x^{- 6}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{10}{5 x^{6}}$

Paso 2.5.13

Cancela el factor común de $10$ y $5$ .

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Paso 2.5.13.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{5 \cdot 2}{5 x^{6}}$

Paso 2.5.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.13.2.1

Factoriza $5$ de $5 x^{6}$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{5 \cdot 2}{5 (x^{6})}$

Paso 2.5.13.2.2

Cancela el factor común.

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{5 \cdot 2}{5 x^{6}}$

Paso 2.5.13.2.3

Reescribe la expresión.

$16 x^{3} - 18 x^{2} + 4 + \frac{2}{x^{6}}$

Paso 2.6

Reordena los términos.

$f'' (x) = 16 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{2}{x^{6}} + 4$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $16 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{2}{x^{6}} + 4$ .

$16 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{2}{x^{6}} + 4$