Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 81} \frac{x (\sqrt{x} - 9)}{x - 81}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 81} x (\sqrt{x} - 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $81$ .

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot lim_{x \to 81} \sqrt{x} - 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Paso 1.1.2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $81$ .

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (lim_{x \to 81} \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - lim_{x \to 81} 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $81$ .

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $81$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $81$ para $x$ .

$\frac{81 \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $81$ para $x$ .

$\frac{81 \cdot (\sqrt{81} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.1.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{81 \cdot (\sqrt{9^{2}} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Paso 1.1.2.6.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{81 \cdot (9 - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Paso 1.1.2.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{81 \cdot (9 - 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Paso 1.1.2.6.2

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{81 \cdot 0}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Paso 1.1.2.6.3

Multiplica $81$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $81$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - lim_{x \to 81} 81}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $81$ que es constante cuando $x$ se acerca a $81$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - 1 \cdot 81}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $81$ para $x$ .

$\frac{0}{81 - 1 \cdot 81}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$\frac{0}{81 - 81}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $81$ de $81$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 81} \frac{x (\sqrt{x} - 9)}{x - 81} = lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 9$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 9] + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{2}} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.12

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.13

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.14

Suma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.15

Combina $x$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.16

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.17

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.17.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.3.17.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.17.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.17.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.17.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.17.4

Resta $1$ de $2$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.19

Multiplica $x^{\frac{1}{2}} - 9$ por $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.20

Para escribir $x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.21

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.23

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.24

Suma $x^{\frac{1}{2}}$ y $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Paso 1.3.25

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 81$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 81]}$

Paso 1.3.26

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1 + \frac{d}{d x} [- 81]}$

Paso 1.3.27

Como $- 81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 81$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1 + 0}$

Paso 1.3.28

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1}$

Paso 1.4

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 9}{1}$

Paso 1.5

Combina los términos.

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Paso 1.5.1

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}}{1}$

Paso 1.5.2

Combina $- 9$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}}{1}$

Paso 1.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}}{1}$

Paso 1.6

Divide $\frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 81} 3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $81$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 81} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

Paso 2.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} (3 lim_{x \to 81} \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

Paso 2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 81} x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $9 \cdot 2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $81$ .

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 81} x} - 9 \cdot 2)$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $81$ para $x$ .

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{81} - 9 \cdot 2)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{9^{2}} - 9 \cdot 2)$

Paso 4.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 9 - 9 \cdot 2)$

Paso 4.1.3

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{1}{2} (27 - 9 \cdot 2)$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (27 - 18)$

Paso 4.2

Resta $18$ de $27$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9$

Paso 4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $9$ .

$\frac{9}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{9}{2}$

Forma decimal:

$4.5$