Cálculo Ejemplos

$e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x - e}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x - e$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - e$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - e$ .

$e^{x - e} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - e$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$e^{x - e} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x - e} (1 + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Paso 2.4

Como $- e$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x - e} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Paso 2.5

Suma $1$ y $0$ .

$e^{x - e} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Paso 2.6

Multiplica $e^{x - e}$ por $1$ .

$e^{x - e} + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

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Paso 4.1

Como $- \frac{1}{e}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{e}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \cdot 1$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina los términos.

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Paso 5.1.1

Para escribir $e^{x - e}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

Paso 5.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} - \frac{1}{e}$

Paso 5.1.3

Para escribir $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e}$

Paso 5.1.4

Para escribir $- \frac{1}{e}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 5.1.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $x e$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.1.5.1

Multiplica $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 5.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{x}{e x}$

Paso 5.1.5.3

Reordena los factores de $x e$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{e x} - \frac{x}{e x}$

Paso 5.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e - x}{e x}$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$\frac{e (e^{x - e} x + 1) - x}{e x}$