Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3}$ at $(- 2, - 16)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 2$ y $y = - 16$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Paso 1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = - 2$ .

$6 {(- 2)}^{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$6 \cdot 4$

Paso 1.5.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$24$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $24$ y un punto dado $(- 2, - 16)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 16) = 24 \cdot (x - (- 2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 16 = 24 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $24 \cdot (x + 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 16 = 0 + 0 + 24 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 16 = 24 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 16 = 24 x + 24 \cdot 2$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $24$ por $2$ .

$y + 16 = 24 x + 48$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 24 x + 48 - 16$

Paso 2.3.2.2

Resta $16$ de $48$ .

$y = 24 x + 32$

Paso 3