Cálculo Ejemplos

$\frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x - 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Paso 5

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x - 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Paso 6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (x - 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 7

Expande $(x - 1) x^{- \frac{1}{3}}$ .

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 7.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{1 - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 7.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{3 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 7.6

Resta $1$ de $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Paso 12

Simplifica.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$