Cálculo Ejemplos

$\int {(2 + y^{2})}^{2} d y$

Paso 1

Expande ${(2 + y^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe ${(2 + y^{2})}^{2}$ como $(2 + y^{2}) (2 + y^{2})$ .

$\int (2 + y^{2}) (2 + y^{2}) d y$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 2 (2 + y^{2}) + y^{2} (2 + y^{2}) d y$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + y^{2} (2 + y^{2}) d y$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + y^{2} \cdot 2 + y^{2} y^{2} d y$

Paso 1.5

Reordena $y^{2}$ y $2$ .

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + 2 \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Paso 1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Paso 1.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{2 + 2} d y$

Paso 1.8

Suma $2$ y $2$ .

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{4} d y$

Paso 1.9

Suma $2 y^{2}$ y $2 y^{2}$ .

$\int 4 + 4 y^{2} + y^{4} d y$

Paso 1.10

Reordena $4 y^{2}$ y $y^{4}$ .

$\int 4 + y^{4} + 4 y^{2} d y$

Paso 1.11

Mueve $4$ .

$\int y^{4} + 4 y^{2} + 4 d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{4} d y + \int 4 y^{2} d y + \int 4 d y$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{4}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 4 y^{2} d y + \int 4 d y$

Paso 4

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 \int y^{2} d y + \int 4 d y$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 4 d y$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 4 y + C$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{y^{3}}{3} + C) + 4 y + C$

Paso 7.2

Simplifica.

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{4 y^{3}}{3} + 4 y + C$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{4}{3} y^{3} + 4 y + C$