Cálculo Ejemplos

$\sin^{2} (2 x^{3} + 3 x)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x^{3} + 3 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x^{3} + 3 x$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x^{3} + 3 x$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\cos (2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3 \cdot 1)$

Paso 3.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los factores de $2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$ .

$2 \cos (2 x^{3} + 3 x) \sin (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

Paso 4.2

Reordena $2 \cos (2 x^{3} + 3 x)$ y $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

$\sin (2 x^{3} + 3 x) (2 \cos (2 x^{3} + 3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Paso 4.3

Reordena $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ y $2$ .

$2 \cdot \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

Paso 4.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 (2 x^{3} + 3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Paso 4.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (2 (2 x^{3}) + 2 (3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Paso 4.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sin (4 x^{3} + 2 (3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Paso 4.7

Multiplica $3$ por $2$ .

$\sin (4 x^{3} + 6 x) (6 x^{2} + 3)$

Paso 4.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (4 x^{3} + 6 x) (6 x^{2}) + \sin (4 x^{3} + 6 x) \cdot 3$

Paso 4.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + \sin (4 x^{3} + 6 x) \cdot 3$

Paso 4.10

Mueve $3$ a la izquierda de $\sin (4 x^{3} + 6 x)$ .

$6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + 3 \cdot \sin (4 x^{3} + 6 x)$

Paso 4.11

Reordena los factores en $6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + 3 \sin (4 x^{3} + 6 x)$ .

$6 x^{2} \sin (4 x^{3} + 6 x) + 3 \sin (4 x^{3} + 6 x)$