Cálculo Ejemplos

$\int \frac{8 \sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int \frac{\sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 2.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 2.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Entonces $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , de modo que $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 3.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 3.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 3.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.1.8

Simplifica.

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Paso 3.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$8 \int 2 \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$8 (2 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 5

Multiplica $2$ por $8$ .

$16 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6

Factoriza $\sin^{2} (u_{1})$ .

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 7

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (u_{1})$ como $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$16 \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 8

Sea $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Paso 8.1.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$16 \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$16 (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$16 (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$16 (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${u_{2}}^{3}$ .

$16 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

Paso 12.2

Simplifica.

$16 (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Paso 13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 13.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (u_{1})$ .

$16 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

Paso 13.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})) + C$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}) + C$

Paso 14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}})) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Paso 14.3

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Paso 14.4

Combina $16$ y $\frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}$ .

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16 \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}}) + C$