Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{4}}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Paso 1.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4 - 1}{4}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} (x + 2 x^{2}) \frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 2.1.2

Multiplica $x + 2 x^{2}$ por $\frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{(x + 2 x^{2}) \cdot 4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 2.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- \frac{1}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{1}{2}$ para $x$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{1}{2}$ para $x$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.5.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.2.5.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.5.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.5.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.5.1.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.5.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.5.1.4.1

Factoriza $2$ de $2^{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.5.1.4.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.5.1.4.3

Reescribe la expresión.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.5.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{\frac{- 1 + 1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.5.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$4 \frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.2.5.4

Divide $0$ por $2$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{0}{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Paso 3.1.3.1.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Paso 3.1.3.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{1}{2}$ para $x$ .

$4 \frac{0}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.3.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.3.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$4 \frac{0}{4 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$4 \frac{0}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \frac{0}{4 \frac{1}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.3.3.1.6.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.6.2

Reescribe la expresión.

$4 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 \frac{0}{1 - 1}$

Paso 3.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$4 (\frac{0}{0})$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Paso 3.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Paso 3.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Paso 3.3.4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Paso 3.3.5

Reordena los términos.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Paso 3.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} \cdot 4 - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4]$ .

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Paso 3.3.7.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.7.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.7.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + 0}$

Paso 3.3.9

Suma $8 x$ y $0$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $\frac{1}{8}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{x}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Paso 4.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- \frac{1}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{1}{2}$ para $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{1}{2}$ para $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$4 \frac{1}{4 (2)} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 6.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 6.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2))$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $2$ de $(4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

Paso 6.3.3

Reescribe la expresión.

$(4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)$

Paso 6.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$(- 4 (\frac{1}{2}) + 1) \cdot - 1$

Paso 6.5

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{- 4}{2} + 1) \cdot - 1$

Paso 6.6

Divide $- 4$ por $2$ .

$(- 2 + 1) \cdot - 1$

Paso 6.7

Suma $- 2$ y $1$ .

$- 1 \cdot - 1$

Paso 6.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1$