Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} {(x - 1)}^{2} + 2 d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{3} {(x - 1)}^{2} d x + \int_{0}^{3} 2 d x$

Paso 2

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Paso 2.3

Resta $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

Paso 2.5

Resta $1$ de $3$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 1}^{2} u^{2} d u + \int_{0}^{3} 2 d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{0}^{3} 2 d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2} + 2 x]_{0}^{3}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $2$ y en $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 x]_{0}^{3}$

Paso 5.2

Evalúa $2 x$ en $3$ y en $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Paso 5.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1 + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Paso 5.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}) + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Paso 5.3.5

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{1}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Paso 5.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 + 1}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Paso 5.3.7

Suma $8$ y $1$ .

$\frac{9}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

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Paso 5.3.8.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Paso 5.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.8.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Paso 5.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Paso 5.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{1} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Paso 5.3.8.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$3 + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Paso 5.3.9

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 + 6 - 2 \cdot 0$

Paso 5.3.10

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$3 + 6 + 0$

Paso 5.3.11

Suma $6$ y $0$ .

$3 + 6$

Paso 5.3.12

Suma $3$ y $6$ .

$9$

Paso 6