Cálculo Ejemplos

$\int \frac{(2 r - 1) \cos (\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6})}{\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6}} d r$

Paso 1

Sea $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . Entonces $d u_{1} = (24 r - 12) d r$ , de modo que $\frac{1}{12} d u_{1} = (2 r - 1) d r$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{d}{d r} [3 {(2 r - 1)}^{2} + 6]$

Paso 1.1.2

Reescribe ${(2 r - 1)}^{2}$ como $(2 r - 1) (2 r - 1)$ .

$\frac{d}{d r} [3 ((2 r - 1) (2 r - 1)) + 6]$

Paso 1.1.3

Expande $(2 r - 1) (2 r - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r - 1) - 1 (2 r - 1)) + 6]$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r - 1)) + 6]$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Paso 1.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Paso 1.1.4.1.2

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.1.2.1

Mueve $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 (r \cdot r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Paso 1.1.4.1.2.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Paso 1.1.4.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Paso 1.1.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Paso 1.1.4.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r - 1 \cdot - 1) + 6]$

Paso 1.1.4.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r + 1) + 6]$

Paso 1.1.4.2

Resta $2 r$ de $- 2 r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6]$

Paso 1.1.5

Según la regla de la suma, la derivada de $3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$

Paso 1.1.6

Evalúa $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)]$ .

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Paso 1.1.6.1

Como $3$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $3 (4 r^{2} - 4 r + 1)$ con respecto a $r$ es $3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1]$ .

$3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1] + \frac{d}{d r} [6]$

Paso 1.1.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 r^{2} - 4 r + 1$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$3 (\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Paso 1.1.6.3

Como $4$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $4 r^{2}$ con respecto a $r$ es $4 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$3 (4 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Paso 1.1.6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (4 (2 r) + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Paso 1.1.6.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- 4 r$ con respecto a $r$ es $- 4 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Paso 1.1.6.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Paso 1.1.6.7

Como $1$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $1$ con respecto a $r$ es $0$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Paso 1.1.6.8

Multiplica $2$ por $4$ .

$3 (8 r - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Paso 1.1.6.9

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$3 (8 r - 4 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Paso 1.1.6.10

Suma $8 r - 4$ y $0$ .

$3 (8 r - 4) + \frac{d}{d r} [6]$

Paso 1.1.7

Como $6$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $6$ con respecto a $r$ es $0$ .

$3 (8 r - 4) + 0$

Paso 1.1.8

Simplifica.

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Paso 1.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (8 r) + 3 \cdot - 4 + 0$

Paso 1.1.8.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.8.2.1

Multiplica $8$ por $3$ .

$24 r + 3 \cdot - 4 + 0$

Paso 1.1.8.2.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$24 r - 12 + 0$

Paso 1.1.8.2.3

Suma $24 r - 12$ y $0$ .

$24 r - 12$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ por $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 12} d u_{1}$

Paso 2.2

Mueve $12$ a la izquierda de $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{12 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{12}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Paso 4.3

Mueve ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Paso 4.4

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Paso 4.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Paso 4.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 5

Sea $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , de modo que $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 5.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 5.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 5.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 5.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 5.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 5.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.8

Simplifica.

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Paso 5.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{12} \int 2 \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{12} (2 \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $2$ y $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 8

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (\sin (u_{2}) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

Paso 10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 10.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 10.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{1}{6} \sin ({(3 {(2 r - 1)}^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}) + C$