Cálculo Ejemplos

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (x) = \frac{d}{d y} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

Paso 2

La derivada de $x$ con respecto a $y$ es $x'$ .

$x'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y^{4}}{4}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{4}{4}$ y $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.2.5.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{8 y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Paso 3.3.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 3.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{- 4} (2 y))$

Paso 3.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 4} y)$

Paso 3.3.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Paso 3.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{1 - 4})$

Paso 3.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 3})$

Paso 3.3.10

Combina $- 2$ y $\frac{1}{8}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8} y^{- 3}$

Paso 3.3.11

Combina $\frac{- 2}{8}$ y $y^{- 3}$ .

$y^{3} + \frac{- 2 y^{- 3}}{8}$

Paso 3.3.12

Mueve $y^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8 y^{3}}$

Paso 3.3.13

Cancela el factor común de $- 2$ y $8$ .

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Paso 3.3.13.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{8 y^{3}}$

Paso 3.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.13.2.1

Factoriza $2$ de $8 y^{3}$ .

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{2 (4 y^{3})}$

Paso 3.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$y^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (4 y^{3})}$

Paso 3.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} + \frac{- 1}{4 y^{3}}$

Paso 3.3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x' = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

Paso 5

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$