Cálculo Ejemplos

$\frac{x + 1}{4^{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = 4^{x}$ .

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{{(4^{x})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(4^{x})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{x \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4^{x} (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4^{x} (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{4^{x} \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Paso 2.5.2

Multiplica $4^{x}$ por $1$ .

$\frac{4^{x} - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $4$ .

$\frac{4^{x} - (x + 1) (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4^{x} + (- x - 1 \cdot 1) (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 1 \cdot 1 (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 1 (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

Paso 4.3.2

Reescribe $- 1 (4^{x} \ln (4))$ como $- (4^{x} \ln (4))$ .

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 4^{x} \ln (4)}{4^{2 x}}$

$\frac{4^{x} - x \cdot 4^{x} \ln (4) - 4^{x} \ln (4)}{4^{2 x}}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$\frac{- 4^{x} x \ln (4) - 4^{x} \ln (4) + 4^{x}}{4^{2 x}}$