Cálculo Ejemplos

$2^{x^{2} + 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 2^{x}$ y $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 3$ .

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (2 x + 0)$

Paso 2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (2 x)$

Paso 3

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{x^{2} + 3} \ln (2) x$

Paso 4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{1 + x^{2} + 3} \ln (2) x$

Paso 5

Suma $1$ y $3$ .

$2^{x^{2} + 4} \ln (2) x$

Paso 6

Reordena los factores de $2^{x^{2} + 4} \ln (2) x$ .

$2^{x^{2} + 4} x \ln (2)$