Cálculo Ejemplos

$x \cdot \sqrt{x^{2} + 1}$

Paso 1

Escribe $x \cdot \sqrt{x^{2} + 1}$ como una función.

$f (x) = x \cdot \sqrt{x^{2} + 1}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x \cdot \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Paso 4

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 4.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Paso 7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 9.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x \cdot \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$