Cálculo Ejemplos

$- y = y^{3} - y^{2} + 3 x^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- y) = \frac{d}{d x} (y^{3} - y^{2} + 3 x^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} - y^{2} + 3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$3 y^{2} y' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} y' - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$3 y^{2} y' - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' - (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 3 (3 x^{2})$

Paso 3.4.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 9 x^{2}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- y' = 9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y' = - y'$

Paso 5.2

Suma $y'$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = 0$

Paso 5.3

Resta $9 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = - 9 x^{2}$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 2 y y' + y' = - 9 x^{2}$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = - 9 x^{2}$

Paso 5.4.3

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = - 9 x^{2}$

Paso 5.4.4

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' \cdot 1 = - 9 x^{2}$

Paso 5.4.5

Factoriza $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1 = - 9 x^{2}$

Paso 5.4.6

Factoriza $y'$ de $y' (3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$ por $3 y^{2} - 2 y + 1$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$ por $3 y^{2} - 2 y + 1$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 y + 1)}{3 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $3 y^{2} - 2 y + 1$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 y + 1)}{3 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$