Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $d$ y $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$\int \frac{d}{2 \sqrt{x}} \cdot x d x$

Paso 4.2

Combina $\frac{d}{2 \sqrt{x}}$ y $x$ .

$\int \frac{d x}{2 \sqrt{x}} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{d}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{d}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{\sqrt{x}} d x$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{2} \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 6.2.2

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{2} \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 6.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{2} \int x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

Paso 6.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Paso 6.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

Paso 6.2.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Paso 8.2

Reescribe $\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$ como $\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $d$ .

$\frac{d}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.3.2

Multiplica $\frac{d}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d \cdot 2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{d \cdot 2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $d$ .

$\frac{2 \cdot d}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.3.5

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 8.3.5.1

Factoriza $2$ de $2 d$ .

$\frac{2 (d)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.3.6

Combina $\frac{d}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

$\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$