Cálculo Ejemplos

$y = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$

Paso 1.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3 x}{2})]$

Paso 1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos (\frac{3 x}{2})$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2})]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{3 x}{2}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Paso 1.2.3.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$0 + 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Paso 1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{3 x}{2}$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Paso 1.2.4

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \cdot 1))$

Paso 1.2.6

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{3}{2})$

Paso 1.2.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$0 + 3 (- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2})$

Paso 1.2.8

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$0 - 3 \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Paso 1.2.9

Combina $- 3$ y $\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$0 + \frac{- 3 (3 \sin (\frac{3 x}{2}))}{2}$

Paso 1.2.10

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$0 + \frac{- 9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Paso 1.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Paso 1.3

Resta $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ de $0$ .

$- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $- \frac{9}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2})]$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{3 x}{2})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\cos (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Paso 2.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Combina $\cos (\frac{3 x}{2})$ y $\frac{9}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{3 x}{2}) \cdot 9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve $9$ a la izquierda de $\cos (\frac{3 x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{9 \cdot \cos (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x}{2}$

Paso 2.3.3

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.4

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (9 \cos (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Paso 2.3.4.2

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.2.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Paso 2.3.4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot 1$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$

Paso 4

Establece el numerador igual a cero.

$9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Divide cada término en $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ por $9$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Divide cada término en $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ por $9$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Paso 5.1.2.1.2

Divide $\sin (\frac{3 x}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{9}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.1

Divide $0$ por $9$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Paso 5.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Paso 5.4

Establece el numerador igual a cero.

$3 x = 0$

Paso 5.5

Divide cada término en $3 x = 0$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Divide cada término en $3 x = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x = 0$

Paso 5.6

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Paso 5.7

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Paso 5.7.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.1.1

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Paso 5.7.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Paso 5.7.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Paso 5.7.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Paso 5.7.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Paso 5.7.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.2.1

Simplifica $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.2.1.1

Resta $0$ de $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Paso 5.7.2.2.1.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.8

La solución a la ecuación $\frac{3 x}{2} = 0$ .

$x = 0, \frac{2 π}{3}$

Paso 6

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 (0)}{2})}{4}$

Paso 7

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Factoriza $2$ de $3 (0)$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})}{4}$

Paso 7.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})}{4}$

Paso 7.1.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})}{4}$

Paso 7.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{4}$

Paso 7.1.2.4

Divide $3 \cdot (0)$ por $1$ .

$- \frac{27 \cos (3 \cdot (0))}{4}$

Paso 7.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$- \frac{27 \cos (0)}{4}$

Paso 7.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{27 \cdot 1}{4}$

Paso 7.3

Multiplica $27$ por $1$ .

$- \frac{27}{4}$

Paso 8

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 9

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot (0))$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $0$ .

$f (0) = - 1 + 3 \cos (0)$

Paso 9.2.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = - 1 + 3 \cdot 1$

Paso 9.2.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (0) = - 1 + 3$

Paso 9.2.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$f (0) = 2$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{2 π}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})}{4}$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Combina $3$ y $\frac{2 π}{3}$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{4}$

Paso 11.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})}{4}$

Paso 11.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Reduce la expresión $\frac{6 π}{3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1.1

Factoriza $3$ de $6 π$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{4}$

Paso 11.3.1.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})}{4}$

Paso 11.3.1.3

Cancela el factor común.

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{4}$

Paso 11.3.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})}{4}$

Paso 11.3.2

Divide $2 π$ por $1$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

Paso 11.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.1.1

Cancela el factor común.

$- \frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

Paso 11.4.1.2

Divide $π$ por $1$ .

$- \frac{27 \cos (π)}{4}$

Paso 11.4.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \frac{27 (- \cos (0))}{4}$

Paso 11.4.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{27 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Paso 11.4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{27 \cdot - 1}{4}$

Paso 11.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.1

Multiplica $27$ por $- 1$ .

$- \frac{- 27}{4}$

Paso 11.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{27}{4}$

Paso 11.6

Multiplica $- - \frac{27}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{27}{4})$

Paso 11.6.2

Multiplica $\frac{27}{4}$ por $1$ .

$\frac{27}{4}$

Paso 12

$x = \frac{2 π}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{2 π}{3}$ es un mínimo local

Paso 13

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{2 π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2 π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot (\frac{2 π}{3}))$

Paso 13.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot \frac{2 π}{3})$

Paso 13.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Paso 13.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (π)))$

Paso 13.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Paso 13.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (π)$

Paso 13.2.1.3

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 (- \cos (0))$

Paso 13.2.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Paso 13.2.1.5

Multiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cdot - 1$

Paso 13.2.1.5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 - 3$

Paso 13.2.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 4$

Paso 13.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 14

Estos son los extremos locales de $f (x) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$ .

$(0, 2)$ es un máximo local

$(\frac{2 π}{3}, - 4)$ es un mínimo local

Paso 15