Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 12} \frac{12 - x}{4 x - 48}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 12} 12 - x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $12$ .

$\frac{lim_{x \to 12} 12 - lim_{x \to 12} x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $12$ .

$\frac{12 - lim_{x \to 12} x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $12$ para $x$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $12$ de $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 12} 4 x - lim_{x \to 12} 48}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 12} x - lim_{x \to 12} 48}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $48$ que es constante cuando $x$ se acerca a $12$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 12} x - 1 \cdot 48}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $12$ para $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 12 - 1 \cdot 48}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $4$ por $12$ .

$\frac{0}{48 - 1 \cdot 48}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $48$ .

$\frac{0}{48 - 48}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $48$ de $48$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 12} \frac{12 - x}{4 x - 48} = lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12 - x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12 - x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $12 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Paso 1.3.3

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Paso 1.3.5

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 48$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Paso 1.3.8

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 48$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $4$ y $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Evalúa el límite de $\frac{- 1}{4}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $12$ .

$\frac{- 1}{4}$

Paso 2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$- 0.25$