Cálculo Ejemplos

${(x y)}^{x} = e$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d y} (e)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = x y$ y $g = x$ .

$\frac{d}{d y} [x y] (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$(x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Paso 2.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Paso 2.5

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la regla del producto a $x y$ .

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Paso 2.6.2

Aplica la regla del producto a $x y$ .

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Paso 2.6.4

Combina los términos.

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Paso 2.6.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x^{1} x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Paso 2.6.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x^{1} x^{1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Paso 2.6.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x^{1 + 1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Paso 2.6.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$(x^{2} + y x' x) x^{x - 1} y^{x - 1} + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Paso 2.6.5

Reordena los términos.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$

Paso 3

Como $e$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Simplifica $x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ .

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Paso 5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{x - 1} y^{x - 1} x^{2} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5.1.1.2

Multiplica $x^{x - 1}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{2} x^{x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5.1.1.2.3

Resta $1$ de $2$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5.1.1.3

Multiplica $x^{x - 1}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.1.3.1

Mueve $x$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x \cdot x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5.1.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{x - 1}$ .

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Paso 5.1.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1} x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5.1.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1 + x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5.1.1.3.3

Combina los términos opuestos en $1 + x - 1$ .

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Paso 5.1.1.3.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x + 0} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5.1.1.3.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5.1.1.4

Multiplica $y^{x - 1}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.1.4.1

Mueve $y$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y \cdot y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5.1.1.4.2

Multiplica $y$ por $y^{x - 1}$ .

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Paso 5.1.1.4.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y^{1} y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5.1.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{1 + x - 1} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5.1.1.4.3

Combina los términos opuestos en $1 + x - 1$ .

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Paso 5.1.1.4.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x + 0} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5.1.1.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Paso 5.1.2

Reordena los factores en $x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = 0$

Paso 5.2

Resta $x^{x + 1} y^{x - 1}$ de ambos lados de la ecuación.

$x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Paso 5.3

Factoriza $x' x^{x} y^{x}$ de $x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x' x^{x} y^{x}$ de $x' x^{x} y^{x}$ .

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Paso 5.3.2

Factoriza $x' x^{x} y^{x}$ de $x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Paso 5.3.3

Factoriza $x' x^{x} y^{x}$ de $x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

$x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Paso 5.4

Divide cada término en $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ por $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ por $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ .

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{x}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $y^{x}$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Paso 5.4.2.3

Cancela el factor común de $1 + \ln (x y)$ .

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Paso 5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Paso 5.4.2.3.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Cancela el factor común de $x^{x + 1}$ y $x^{x}$ .

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Paso 5.4.3.1.1

Factoriza $x^{x}$ de $- x^{x + 1} y^{x - 1}$ .

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.2.1

Factoriza $x^{x}$ de $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ .

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

Paso 5.4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{- x y^{x - 1}}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Paso 5.4.3.2

Cancela el factor común de $y^{x - 1}$ y $y^{x}$ .

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Paso 5.4.3.2.1

Factoriza $y^{x}$ de $- x y^{x - 1}$ .

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Paso 5.4.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Paso 5.4.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{- x y^{- 1}}{1 + \ln (x y)}$

Paso 5.4.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.3.3.1

Mueve $y^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x' = \frac{- x}{(1 + \ln (x y)) y}$

Paso 5.4.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$

Paso 5.4.3.3.3

Reordena los factores en $- \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$ .

$x' = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$