Cálculo Ejemplos

$x y - y - 5 - 2 x^{3} = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y - y - 5 - 2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y - y - 5 - 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$x y' + y - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y - y' + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Paso 2.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x y' + y - y' + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x y' + y - y' + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x y' + y - y' + 0 - 2 (3 x^{2})$

Paso 2.5.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$x y' + y - y' + 0 - 6 x^{2}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Suma $x y' + y - y'$ y $0$ .

$x y' + y - y' - 6 x^{2}$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$- 6 x^{2} + x y' + y - y'$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 6 x^{2} + x y' + y - y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $6 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x y' + y - y' = 6 x^{2}$

Paso 5.1.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' - y' = 6 x^{2} - y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $x y' - y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x - y' = 6 x^{2} - y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' x + y' \cdot - 1 = 6 x^{2} - y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' x + y' \cdot - 1$ .

$y' (x - 1) = 6 x^{2} - y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (x - 1) = 6 x^{2} - y$ por $x - 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (x - 1) = 6 x^{2} - y$ por $x - 1$ .

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{6 x^{2}}{x - 1} + \frac{- y}{x - 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{6 x^{2}}{x - 1} + \frac{- y}{x - 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{x - 1} + \frac{- y}{x - 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{6 x^{2}}{x - 1} - \frac{y}{x - 1}$

Paso 5.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{6 x^{2} - y}{x - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y}{x - 1}$