Cálculo Ejemplos

$- (x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Paso 1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [(x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = \sin (\frac{x^{2}}{2})$ .

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x^{2}}{2})] + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$- ((x + 1) (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- ((x + 1) (\cos (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- ((x + 1) \cos (\frac{x^{2}}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (\frac{x^{2}}{2})$ .

$- ((x + 1) \frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- ((x + 1) \frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} (2 x) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 4.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.4.1

Combina $2$ y $\frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2}$ .

$- ((x + 1) \frac{2 \cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} x + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 4.4.2

Combina $x$ y $\frac{2 \cos (\frac{x^{2}}{2})}{2}$ .

$- ((x + 1) \frac{x (2 \cos (\frac{x^{2}}{2}))}{2} + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 4.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.3.1

Cancela el factor común.

$- ((x + 1) \frac{x (2 \cos (\frac{x^{2}}{2}))}{2} + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 4.4.3.2

Divide $x (\cos (\frac{x^{2}}{2}))$ por $1$ .

$- ((x + 1) (x (\cos (\frac{x^{2}}{2}))) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 4.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 4.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (1 + 0))$

Paso 4.8

Simplifica la expresión.

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Paso 4.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \cdot 1)$

Paso 4.8.2

Multiplica $\sin (\frac{x^{2}}{2})$ por $1$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- ((x \cdot x + 1 x) \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x \cdot x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + 1 x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x \cdot x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Paso 5.4

Combina los términos.

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Paso 5.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- (x^{1} x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Paso 5.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- (x^{1} x^{1} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Paso 5.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (x^{1 + 1} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Paso 5.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$- (x^{2} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Paso 5.4.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$- x^{2} \cos (\frac{x^{2}}{2}) - x \cos (\frac{x^{2}}{2}) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$