Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \arctan (2 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arctan (2 x)$ y $d v = 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

Paso 4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

Paso 5

Sea $u = 4 x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 8 x d x$ , de modo que $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 4 x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 x + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $8 x$ y $0$ .

$8 x$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 4 x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{2} + 1$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 5.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 4 x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1^{2} + 1$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

Paso 5.5.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Paso 5.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$u_{upper} = 5$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Paso 6.2

Mueve $8$ a la izquierda de $u$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{8 u} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 2}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $8$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 (- 1)}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Paso 8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\arctan (2 x) x$ en $1$ y en $0$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Paso 10.2

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.1

Evalúa $\ln (| u |)$ en $5$ y en $1$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.2.2

Multiplica.

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Paso 10.2.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\arctan (2) \cdot 1 - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.2.2.2

Multiplica $\arctan (2)$ por $1$ .

$\arctan (2) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.2.2.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\arctan (2) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.2.3

Simplifica.

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Paso 10.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\arctan (2) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.2.3.2

Multiplica $0$ por $\arctan (0)$ .

$\arctan (2) + 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.2.4

Suma $\arctan (2)$ y $0$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Paso 10.3.2

Combina $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ y $\frac{1}{4}$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

Paso 10.4

Simplifica.

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Paso 10.4.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $5$ es $5$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

Paso 10.4.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

Paso 10.4.3

Divide $5$ por $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

Forma decimal:

$0.70478923 \dots$