Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$

Paso 1

La función $G (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $g (x)$ .

$G (x) = \int g (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$G (x) = \int \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}} d x$

Paso 3

Mueve $x^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Paso 4

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

Paso 4.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4} d x$

Paso 5

Expande $(x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4}$ .

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{2} x^{- 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{2 - 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Paso 5.4

Resta $4$ de $2$ .

$\int x^{- 2} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Paso 5.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{- 2} + 3 (x^{1} x^{- 4}) - 5 x^{- 4} d x$

Paso 5.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{- 2} + 3 x^{1 - 4} - 5 x^{- 4} d x$

Paso 5.7

Resta $4$ de $1$ .

$\int x^{- 2} + 3 x^{- 3} - 5 x^{- 4} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Paso 8

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$- x^{- 1} + C + 3 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Paso 10.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Paso 11

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{- 4} d x$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

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Paso 13.1.1

Combina $x^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Paso 13.1.2

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Paso 13.2

Simplifica.

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Paso 13.3

Simplifica.

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Paso 13.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + 5 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Paso 13.3.2

Combina $5$ y $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$ .

$G (x) =$ $- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$