Cálculo Ejemplos

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ y $g (y) = 1 - x^{2}$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.7

Diferencia.

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Paso 4.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.7.2

Combina fracciones.

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Paso 4.7.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.7.2.2

Mueve ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.7.2.3

Combina $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.7.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.7.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.7.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.7.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 4.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.9

Combina fracciones.

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Paso 4.9.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 (x \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.9.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d y} [x]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.9.3

Combina $x$ y $\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x (- 2 x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.13

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.14

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.15

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.15.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.15.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.15.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.17

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.18

Combina $x'$ y $\frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x' x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.19

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- \frac{x' x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$

Paso 4.20

Reordena los factores en $- \frac{x' x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$ .

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$

Paso 6

Resuelve $x'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ .

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$

Paso 6.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

Paso 6.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3

Multiplica cada término en $- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ por ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ por ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común de ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$\frac{- x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.2

Multiplica ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.2.1.2.1

Mueve ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.2.5

Divide $2$ por $2$ .

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{1} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.3

Simplifica ${(1 - x^{2})}^{1} x'$ .

$- x^{2} x' + (1 - x^{2}) x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} x' + 1 x' - x^{2} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.5

Multiplica $x'$ por $1$ .

$- x^{2} x' + x' - x^{2} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.2

Resta $x^{2} x'$ de $- x^{2} x'$ .

$- 2 x^{2} x' + x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- 2 x^{2} x' + x' = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.4.1

Factoriza $x'$ de $- 2 x^{2} x' + x'$ .

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Paso 6.4.1.1

Factoriza $x'$ de $- 2 x^{2} x'$ .

$x' (- 2 x^{2}) + x' = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.1.2

Eleva $x'$ a la potencia de $1$ .

$x' (- 2 x^{2}) + x' = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.1.3

Factoriza $x'$ de ${x'}^{1}$ .

$x' (- 2 x^{2}) + x' \cdot 1 = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.1.4

Factoriza $x'$ de $x' (- 2 x^{2}) + x' \cdot 1$ .

$x' (- 2 x^{2} + 1) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4.2

Divide cada término en $x' (- 2 x^{2} + 1) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $- 2 x^{2} + 1$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.1

Divide cada término en $x' (- 2 x^{2} + 1) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $- 2 x^{2} + 1$ .

$\frac{x' (- 2 x^{2} + 1)}{- 2 x^{2} + 1} = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x^{2} + 1}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2 x^{2} + 1$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (- 2 x^{2} + 1)}{- 2 x^{2} + 1} = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x^{2} + 1}$

Paso 6.4.2.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x^{2} + 1}$

Paso 6.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- (2 x^{2}) + 1}$

Paso 6.4.2.3.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- (2 x^{2}) - 1 (- 1)}$

Paso 6.4.2.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- (2 x^{2} - 1)}$

Paso 6.4.2.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 6.4.2.3.4.1

Reescribe $- (2 x^{2} - 1)$ como $- 1 (2 x^{2} - 1)$ .

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 1 (2 x^{2} - 1)}$

Paso 6.4.2.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2} - 1}$

Paso 7

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2} - 1}$