Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} | x |$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = | x |$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [| x |] + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$x^{2} \frac{x}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x^{2} x}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.1.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} x^{1}}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2 + 1}}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.4.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x^{3}}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{| x |} + | x | (2 x)$

Paso 1.1.6

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{| x |} + 2 x | x |$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{| x |} + 2 x | x |$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{| x |}] + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{| x |}] + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{| x |}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = | x |$ .

$\frac{| x | \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.2.2.3

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - x^{3} \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.2.2.4

Combina $\frac{x}{| x |}$ y $x^{3}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x \cdot x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.2.2.5

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.5.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.2.2.5.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{1} x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.2.2.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{1 + 3}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.2.2.5.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x | x |]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x | x |$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x | x |]$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x | x |]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = | x |$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (x \frac{d}{d x} [| x |] + | x | \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.3.3

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (x \frac{x}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (x \frac{x}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Paso 1.2.3.5

Combina $x$ y $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x \cdot x}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Paso 1.2.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{1} x}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Paso 1.2.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Paso 1.2.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{1 + 1}}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Paso 1.2.3.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{2}}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Paso 1.2.3.10

Multiplica $| x |$ por $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{2}}{| x |} + | x |)$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 \frac{x^{2}}{| x |} + 2 | x |$

Paso 1.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.2.4.2.1

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{| x |}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{2 x^{2}}{| x |} + 2 | x |$

Paso 1.2.4.2.2

Para escribir $2 | x |$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{| x |}^{2}}{{| x |}^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{2 | x | {| x |}^{2}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 | x | {| x |}^{2}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.2.4

Multiplica $| x |$ por ${| x |}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.4.2.4.1

Mueve ${| x |}^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 ({| x |}^{2} | x |)}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.2.4.2

Multiplica ${| x |}^{2}$ por $| x |$ .

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Paso 1.2.4.2.4.2.1

Eleva $| x |$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 ({| x |}^{2} {| x |}^{1})}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{2 + 1}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.2.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{3 | x | x^{2} - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.2

Reordena los términos.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{- \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{3} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.3

Para escribir $2 {| x |}^{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{| x |}{| x |}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{- \frac{x^{4}}{| x |} + \frac{2 {| x |}^{3} | x |}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 {| x |}^{3} | x |}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.3.1.5.1

Multiplica ${| x |}^{3}$ por $| x |$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.4.3.1.5.1.1

Mueve $| x |$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 (| x | {| x |}^{3})}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.5.1.2

Multiplica $| x |$ por ${| x |}^{3}$ .

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Paso 1.2.4.3.1.5.1.2.1

Eleva $| x |$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 ({| x |}^{1} {| x |}^{3})}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 {| x |}^{1 + 3}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.5.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 {| x |}^{4}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.5.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 x^{4}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.5.3

Suma $- x^{4}$ y $2 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.6

Para escribir $3 x^{2} | x |$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{| x |}{| x |}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4}}{| x |} + \frac{3 x^{2} | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4} + 3 x^{2} | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.3.1.8.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} + 3 x^{2} | x | | x |$ .

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Paso 1.2.4.3.1.8.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} x^{2} + 3 x^{2} | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.8.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2} | x | | x |$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (3 | x | | x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.8.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} (3 | x | | x |)$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x | | x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.8.2

Multiplica $3 | x | | x |$ .

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Paso 1.2.4.3.1.8.2.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x \cdot x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.8.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{1} x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.8.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{1} x^{1} |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.8.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{1 + 1} |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.8.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{2} |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.8.3

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 x^{2})}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.8.4

Suma $x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} \cdot 4 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.8.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.4.3.1.8.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} x^{2} \cdot 4}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.8.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2 + 2} \cdot 4}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.8.5.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4} \cdot 4}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{4 x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Paso 1.2.4.3.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{4 x^{4}}{| x |}}{x^{2}}$

Paso 1.2.4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{4}}{| x |} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2.4.3.4

Combinar.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{4} \cdot 1}{| x | x^{2}}$

Paso 1.2.4.3.5

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.2.4.3.5.1

Factoriza $x^{2}$ de $4 x^{4} \cdot 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{x^{2} (4 x^{2} \cdot 1)}{| x | x^{2}}$

Paso 1.2.4.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.3.5.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $| x | x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{x^{2} (4 x^{2} \cdot 1)}{x^{2} | x |}$

Paso 1.2.4.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{x^{2} (4 x^{2} \cdot 1)}{x^{2} | x |}$

Paso 1.2.4.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{2} \cdot 1}{| x |}$

Paso 1.2.4.3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{2}}{| x |}$

Paso 1.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{2} + 4 x^{2}}{| x |}$

Paso 1.2.4.5

Suma $2 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2}}{| x |}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{6 x^{2}}{| x |}$ .

$\frac{6 x^{2}}{| x |}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{6 x^{2}}{| x |} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{6 x^{2}}{| x |} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$6 x^{2} = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $6 x^{2} = 0$ por $6$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $6 x^{2} = 0$ por $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{6}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.3.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.3.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.4

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{6 x^{2}}{| x |} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 3

No se encontraron valores que puedan hacer que la segunda derivada sea igual a $0$ .

No hay puntos de inflexión