Cálculo Ejemplos

$e^{x} (3 + e^{- x})$

Paso 1

Escribe $e^{x} (3 + e^{- x})$ como una función.

$f (x) = e^{x} (3 + e^{- x})$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int e^{x} (3 + e^{- x}) d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{x} \cdot 3 + e^{x} e^{- x} d x$

Paso 4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$\int 3 \cdot e^{x} + e^{x} e^{- x} d x$

Paso 4.3

Multiplica $e^{x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 \cdot e^{x} + e^{x - x} d x$

Paso 4.3.2

Resta $x$ de $x$ .

$\int 3 \cdot e^{x} + e^{0} d x$

Paso 4.4

Simplifica $e^{0}$ .

$\int 3 e^{x} + 1 d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 e^{x} d x + \int d x$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int e^{x} d x + \int d x$

Paso 7

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$3 (e^{x} + C) + \int d x$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$3 (e^{x} + C) + x + C$

Paso 9

Simplifica.

$3 e^{x} + x + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = e^{x} (3 + e^{- x})$ .

$F (x) =$ $3 e^{x} + x + C$