Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y} - y}{y^{2}} d y$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} - y}{y^{2}} d y$

Paso 1.1.2

Factoriza $y^{\frac{1}{2}}$ de $y^{\frac{1}{2}} - y$ .

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Paso 1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y}{y^{2}} d y$

Paso 1.1.2.2

Factoriza $y^{\frac{1}{2}}$ de $- y$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

Paso 1.1.2.3

Factoriza $y^{\frac{1}{2}}$ de $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

Paso 1.2

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Paso 1.3

Multiplica $y^{2}$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 - \frac{1}{2}}} d y$

Paso 1.3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Paso 1.3.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Paso 1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d y$

Paso 1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{4 - 1}{2}}} d y$

Paso 1.3.5.2

Resta $1$ de $4$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

Paso 2

Mueve $y^{\frac{3}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y$

Paso 3.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 3}{2}} d y$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{3}{2}} d y$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{1}^{4} 1 y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Paso 4.2

Multiplica $y^{- \frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Paso 4.3

Factoriza el negativo.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - (y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}}) d y$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d y$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1 - 3}{2}} d y$

Paso 4.6

Resta $3$ de $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 2}{2}} d y$

Paso 4.7

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 4.7.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d y$

Paso 4.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d y$

Paso 4.7.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d y$

Paso 4.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 1}{1}} d y$

Paso 4.7.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{- 1} d y$

Paso 4.8

Reordena $y^{- \frac{3}{2}}$ y $- y^{- 1}$ .

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} + y^{- \frac{3}{2}} d y$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{4} y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Paso 7

La integral de $y^{- 1}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $y$ es $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1.1

Evalúa $\ln (| y |)$ en $4$ y en $1$ .

$- ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |)) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Paso 9.1.2

Evalúa $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ en $4$ y en $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + - 2 \cdot 4^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.3

Simplifica.

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Paso 9.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.3.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{1}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.3.5

Evalúa el exponente.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.3.6

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 2}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.3.7

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 9.1.3.7.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 1}{1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.3.7.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.3.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1$

Paso 9.1.3.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2$

Paso 9.1.3.10

Suma $- 1$ y $2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + 1$

Paso 9.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) + 1$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$- \ln (\frac{4}{| 1 |}) + 1$

Paso 9.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$- \ln (\frac{4}{1}) + 1$

Paso 9.3.3

Divide $4$ por $1$ .

$- \ln (4) + 1$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \ln (4) + 1$

Forma decimal:

$- 0.38629436 \dots$

Paso 11