Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{4}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Paso 4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $x^{5}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Paso 5.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$4 \int x^{- 5} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $x^{- 4}$ y $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Paso 7.2

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Paso 9

Sea $u = 1 - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = 1 - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Paso 9.1.2

Diferencia.

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Paso 9.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 9.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 9.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 9.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Paso 9.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Paso 9.1.4

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 10.2

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int - \frac{u^{3}}{2} d u$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - - \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 1 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Paso 12.2

Multiplica $\int \frac{u^{3}}{2} d u$ por $1$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} \int u^{3} d u$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica.

$\frac{- 1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

Paso 15.2

Simplifica.

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Paso 15.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

Paso 15.2.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $u^{4}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{4}}{4} + C$

Paso 15.2.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{u^{4}}{4}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{2 \cdot 4} + C$

Paso 15.2.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{8} + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 x$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{{(1 - 2 x)}^{4}}{8} + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$

Paso 18

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$