Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{5 x - 3}$

Paso 1.1.2

$\frac{A}{5 x - 3} + \frac{B}{3 - 4 x}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(5 x - 3) (3 - 4 x)$ .

$\frac{1 (5 x - 3) (3 - 4 x)}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $5 x - 3$ .

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (5 x - 3) (3 - 4 x)}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (3 - 4 x)}{3 - 4 x} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $3 - 4 x$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (3 - 4 x)}{3 - 4 x} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Paso 1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común de $5 x - 3$ .

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Paso 1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Paso 1.1.6.1.2

Divide $(A) (3 - 4 x)$ por $1$ .

$1 = (A) (3 - 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 3 + A (- 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Paso 1.1.6.3

Mueve $3$ a la izquierda de $A$ .

$1 = 3 \cdot A + A (- 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Paso 1.1.6.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 3 \cdot A - 4 A x + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Paso 1.1.6.5

Cancela el factor común de $3 - 4 x$ .

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Paso 1.1.6.5.1

Cancela el factor común.

$1 = 3 A - 4 A x + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

Paso 1.1.6.5.2

Divide $(B) (5 x - 3)$ por $1$ .

$1 = 3 A - 4 A x + (B) (5 x - 3)$

Paso 1.1.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 3 A - 4 A x + B (5 x) + B \cdot - 3$

Paso 1.1.6.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 3 A - 4 A x + 5 B x + B \cdot - 3$

Paso 1.1.6.8

Mueve $- 3$ a la izquierda de $B$ .

$1 = 3 A - 4 A x + 5 B x - 3 B$

Paso 1.1.7

Reordena.

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Paso 1.1.7.1

Mueve $A$ .

$1 = 3 A - 4 x A + 5 B x - 3 B$

Paso 1.1.7.2

Mueve $B$ .

$1 = 3 A - 4 x A + 5 x B - 3 B$

Paso 1.1.7.3

Mueve $3 A$ .

$1 = - 4 x A + 5 x B + 3 A - 3 B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 4 A + 5 B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 3 A - 3 B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = - 4 A + 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

$0 = - 4 A + 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $0 = - 4 A + 5 B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 4 A + 5 B = 0$ .

$- 4 A + 5 B = 0$

$1 = 3 A - 3 B$

Paso 1.3.1.2

Resta $5 B$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 A = - 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

Paso 1.3.1.3

Divide cada término en $- 4 A = - 5 B$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.3.1.3.1

Divide cada término en $- 4 A = - 5 B$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Paso 1.3.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.3.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Paso 1.3.1.3.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Paso 1.3.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{5 B}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = 3 A - 3 B$ por $\frac{5 B}{4}$ .

$1 = 3 (\frac{5 B}{4}) - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{5 B}{4}) - 3 B$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Multiplica $3 (\frac{5 B}{4})$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1.1

Combina $3$ y $\frac{5 B}{4}$ .

$1 = \frac{3 (5 B)}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.2.2.1.2

Para escribir $- 3 B$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B \cdot \frac{4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.2.2.1.3.1

Combina $- 3 B$ y $\frac{4}{4}$ .

$1 = \frac{15 B}{4} + \frac{- 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 = \frac{15 B - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{15 B - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.2.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.2.2.1.4.1

Factoriza $3 B$ de $15 B - 3 B \cdot 4$ .

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Paso 1.3.2.2.1.4.1.1

Factoriza $3 B$ de $15 B$ .

$1 = \frac{3 B (5) - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.2.2.1.4.1.2

Factoriza $3 B$ de $- 3 B \cdot 4$ .

$1 = \frac{3 B (5) + 3 B (- 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.2.2.1.4.1.3

Factoriza $3 B$ de $3 B (5) + 3 B (- 1 \cdot 4)$ .

$1 = \frac{3 B (5 - 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B (5 - 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.2.2.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$1 = \frac{3 B (5 - 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.2.2.1.4.3

Resta $4$ de $5$ .

$1 = \frac{3 B \cdot 1}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.2.2.1.4.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $1 = \frac{3 B}{4}$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3 B}{4} = 1$ .

$\frac{3 B}{4} = 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4} = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.3.3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.1.1

Simplifica $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4}$ .

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Paso 1.3.3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4} = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.3.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 B$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 (B)) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{4}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = \frac{5 B}{4}$ por $\frac{4}{3}$ .

$A = \frac{5 (\frac{4}{3})}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $\frac{5 (\frac{4}{3})}{4}$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Combina $5$ y $\frac{4}{3}$ .

$A = \frac{\frac{5 \cdot 4}{3}}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Paso 1.3.4.2.1.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$A = \frac{\frac{20}{3}}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Paso 1.3.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$A = \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Paso 1.3.4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.4.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$A = \frac{4 (5)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Paso 1.3.4.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$A = \frac{4 \cdot 5}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

Paso 1.3.4.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{5}{3}, B = \frac{4}{3}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{5 x - 3} + \frac{B}{3 - 4 x}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{5}{3}}{5 x - 3} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{5 x - 3} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $\frac{1}{5 x - 3}$ .

$\frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

Paso 1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3 - 4 x}$

Paso 1.5.4

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{1}{3 - 4 x}$ .

$\int \frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{5}{3 (5 x - 3)} d x + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{5}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{5}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{5 x - 3} d x + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = 5 x - 3$ . Entonces $d u_{1} = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = 5 x - 3$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $5 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $5$ y $0$ .

$5$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{5} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 5} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Paso 5.2

Mueve $5$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{5 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{3} (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Paso 7.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{5}{15} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $5$ y $15$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1)}{15} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Paso 7.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Paso 7.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

Paso 9

Dado que $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{4}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Paso 10

Sea $u_{2} = 3 - 4 x$ . Entonces $d u_{2} = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = 3 - 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $3 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

Paso 10.1.2

Diferencia.

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Paso 10.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 10.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 10.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 10.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Paso 10.1.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$0 - 4$

Paso 10.1.4

Resta $4$ de $0$ .

$- 4$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Paso 11.2

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Paso 11.3

Mueve $4$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int - \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} (- \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2})$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.3

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 14.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 (1)}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 15

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 16

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 17

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 17.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x - 3$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 x - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 17.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 - 4 x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 x - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 - 4 x |) + C$