Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{3} (t^{2} - 9) (4 - t^{2}) d t$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{2}^{3} t^{2} (4 - t^{2}) - 9 (4 - t^{2}) d t$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{2}^{3} t^{2} \cdot 4 + t^{2} (- t^{2}) - 9 (4 - t^{2}) d t$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{2}^{3} t^{2} \cdot 4 + t^{2} (- t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

Paso 1.4

Reordena $t^{2}$ y $4$ .

$\int_{2}^{3} 4 \cdot t^{2} + t^{2} (- t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

Paso 1.5

Reordena $t^{2}$ y $- 1$ .

$\int_{2}^{3} 4 \cdot t^{2} - 1 \cdot t^{2} t^{2} - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

Paso 1.6

Factoriza el negativo.

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - (t^{2} t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Paso 1.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{2 + 2} - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Paso 1.8

Suma $2$ y $2$ .

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Paso 1.9

Multiplica $- 9$ por $4$ .

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 36 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Paso 1.10

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 36 + 9 t^{2} d t$

Paso 1.11

Reordena $4 t^{2}$ y $- t^{4}$ .

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 4 t^{2} - 36 + 9 t^{2} d t$

Paso 1.12

Reordena $- 36$ y $9 t^{2}$ .

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 4 t^{2} + 9 t^{2} - 36 d t$

Paso 1.13

Mueve $4 t^{2}$ .

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 9 t^{2} + 4 t^{2} - 36 d t$

Paso 1.14

Suma $9 t^{2}$ y $4 t^{2}$ .

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 13 t^{2} - 36 d t$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{2}^{3} - t^{4} d t + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{2}^{3} t^{4} d t + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{4}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} t^{5}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Paso 5

Combina $\frac{1}{5}$ y $t^{5}$ .

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Paso 6

Dado que $13$ es constante con respecto a $t$ , mueve $13$ fuera de la integral.

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 \int_{2}^{3} t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{1}{3} t^{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Paso 8

Combina $\frac{1}{3}$ y $t^{3}$ .

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\frac{t^{5}}{5}$ en $3$ y en $2$ .

$- ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

Paso 10.2

Evalúa $\frac{t^{3}}{3}$ en $3$ y en $2$ .

$- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

Paso 10.3

Evalúa $- 36 t$ en $3$ y en $2$ .

$- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4

Simplifica.

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Paso 10.4.1

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$- (\frac{243}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$- (\frac{243}{5} - \frac{32}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{243 - 32}{5} + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.4

Resta $32$ de $243$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.5

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.6

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 10.4.6.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.6.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (9 - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (9 - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.8

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.9

Combina $9$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{211}{5} + 13 \frac{9 \cdot 3 - 8}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.11.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 \frac{27 - 8}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.11.2

Resta $8$ de $27$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{19}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.12

Combina $13$ y $\frac{19}{3}$ .

$- \frac{211}{5} + \frac{13 \cdot 19}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.13

Multiplica $13$ por $19$ .

$- \frac{211}{5} + \frac{247}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.14

Para escribir $- \frac{211}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{247}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.15

Para escribir $\frac{247}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{211}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.16

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.4.16.1

Multiplica $\frac{211}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.16.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.16.3

Multiplica $\frac{247}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247 \cdot 5}{3 \cdot 5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.16.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 211 \cdot 3 + 247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.18

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.18.1

Multiplica $- 211$ por $3$ .

$\frac{- 633 + 247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.18.2

Multiplica $247$ por $5$ .

$\frac{- 633 + 1235}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.18.3

Suma $- 633$ y $1235$ .

$\frac{602}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.19

Multiplica $- 36$ por $3$ .

$\frac{602}{15} - 108 + 36 \cdot 2$

Paso 10.4.20

Multiplica $36$ por $2$ .

$\frac{602}{15} - 108 + 72$

Paso 10.4.21

Suma $- 108$ y $72$ .

$\frac{602}{15} - 36$

Paso 10.4.22

Para escribir $- 36$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{602}{15} - 36 \cdot \frac{15}{15}$

Paso 10.4.23

Combina $- 36$ y $\frac{15}{15}$ .

$\frac{602}{15} + \frac{- 36 \cdot 15}{15}$

Paso 10.4.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{602 - 36 \cdot 15}{15}$

Paso 10.4.25

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.25.1

Multiplica $- 36$ por $15$ .

$\frac{602 - 540}{15}$

Paso 10.4.25.2

Resta $540$ de $602$ .

$\frac{62}{15}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{62}{15}$

Forma decimal:

$4.1\overline{3}$

Forma de número mixto:

$4 \frac{2}{15}$

Paso 12