Cálculo Ejemplos

$e^{x + y} = x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (e^{x + y}) = \frac{d}{d x} (x y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x + y} (1 + y')$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$x y' + y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica $e^{x + y} (1 + y')$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Paso 5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y' = x y' + y$

Paso 5.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $e^{x + y}$ por $1$ .

$e^{x + y} + e^{x + y} y' = x y' + y$

Paso 5.1.4.2

Reordena los factores en $e^{x + y} + e^{x + y} y'$ .

$e^{x + y} + y' e^{x + y} = x y' + y$

Paso 5.2

Resta $x y'$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{x + y} + y' e^{x + y} - x y' = y$

Paso 5.3

Resta $e^{x + y}$ de ambos lados de la ecuación.

$y' e^{x + y} - x y' = y - e^{x + y}$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $y' e^{x + y} - x y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $y' e^{x + y}$ .

$y' (e^{x + y}) - x y' = y - e^{x + y}$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (e^{x + y}) + y' (- x) = y - e^{x + y}$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $y' (e^{x + y}) + y' (- x)$ .

$y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$ por $e^{x + y} - x$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$ por $e^{x + y} - x$ .

$\frac{y' (e^{x + y} - x)}{e^{x + y} - x} = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $e^{x + y} - x$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (e^{x + y} - x)}{e^{x + y} - x} = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y - e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$