Cálculo Ejemplos

$80 + \frac{4}{x + 1}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $80 + \frac{4}{x + 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [80] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [80] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$

Paso 1.2

Como $80$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $80$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$ .

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{x + 1}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$0 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (1 + 0))$

Paso 2.7

Suma $1$ y $0$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} \cdot 1)$

Paso 2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2})$

Paso 2.9

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$0 - 4 {(x + 1)}^{- 2}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 4 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$0 + \frac{- 4}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Resta $\frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$