Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $\frac{1}{27}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = 9 x^{2} + 6$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x^{2} + 6$ .

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x^{2} + 6$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Paso 3.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Paso 3.7

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Paso 3.8

Multiplica $\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 27} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Paso 3.9

Multiplica $2$ por $27$ .

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Paso 3.10

Factoriza $3$ de $3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Paso 3.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.11.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Paso 3.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Paso 3.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Paso 3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 3.13

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 3.15

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 3.16

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + 0)$

Paso 3.17

Simplifica los términos.

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Paso 3.17.1

Suma $18 x$ y $0$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x)$

Paso 3.17.2

Combina $18$ y $\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ .

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} x$

Paso 3.17.3

Combina $\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ y $x$ .

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

Paso 3.17.4

Cancela el factor común.

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

Paso 3.17.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.17.5.1

Divide ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ por $1$ .

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$

Paso 3.17.5.2

Reordena los factores de ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$