Cálculo Ejemplos

$\int \frac{6 x^{2} - 8 x + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $2$ de $6 x^{2} - 8 x + 6$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) - 8 x + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 1.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 8 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 1.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 1.1.1.1.4

Factoriza $2$ de $2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 1.1.1.1.5

Factoriza $2$ de $2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $3 x$ de $3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) - 6 x^{2} + 9 x}$

Paso 1.1.1.2.2

Factoriza $3 x$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x) + 9 x}$

Paso 1.1.1.2.3

Factoriza $3 x$ de $9 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x) + 3 x (3)}$

Paso 1.1.1.2.4

Factoriza $3 x$ de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2} - 2 x) + 3 x (3)}$

Paso 1.1.1.2.5

Factoriza $3 x$ de $3 x (x^{2} - 2 x) + 3 x (3)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $3 x (x^{2} - 2 x + 3)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x (x^{2} - 2 x + 3))}{x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x (x^{2} - 2 x + 3))}{x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} - 2 x + 3} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $x^{2} - 2 x + 3$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} - 2 x + 3} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.6.2

Divide $2 (3 x^{2} - 4 x + 3)$ por $1$ .

$2 (3 x^{2} - 4 x + 3) = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.8

Simplifica.

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Paso 1.1.8.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.8.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.8.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.9

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.9.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.9.1.1

Cancela el factor común.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.9.1.2

Divide $A (3 (x^{2} - 2 x + 3))$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = A (3 (x^{2} - 2 x + 3)) + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.9.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A (x^{2} - 2 x + 3) + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 A (- 2 x) + 3 A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.9.4

Simplifica.

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Paso 1.1.9.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 \cdot (- 2 A x) + 3 A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.9.4.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 \cdot (- 2 A x) + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.9.5

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.9.6

Cancela el factor común de $x^{2} - 2 x + 3$ .

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Paso 1.1.9.6.1

Cancela el factor común.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.1.9.6.2

Divide $(B x + C) (3 x)$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + (B x + C) (3 x)$

Paso 1.1.9.7

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x (3 x) + C (3 x)$

Paso 1.1.9.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x \cdot x + C (3 x)$

Paso 1.1.9.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x \cdot x + 3 C x$

Paso 1.1.9.10

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.9.10.1

Mueve $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B (x \cdot x) + 3 C x$

Paso 1.1.9.10.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Paso 1.1.10

Reordena.

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Paso 1.1.10.1

Mueve $A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 A x + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Paso 1.1.10.2

Mueve $A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Paso 1.1.10.3

Mueve $B$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 9 A + 3 x^{2} B + 3 C x$

Paso 1.1.10.4

Mueve $9 A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 3 x^{2} B + 3 C x + 9 A$

Paso 1.1.10.5

Mueve $- 6 x A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A + 3 x^{2} B - 6 x A + 3 C x + 9 A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$6 = 3 A + 3 B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$6 = 9 A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 9 A$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 9 A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $6 = 9 A$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $9 A = 6$ .

$9 A = 6$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Paso 1.3.1.2

Divide cada término en $9 A = 6$ por $9$ y simplifica.

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Paso 1.3.1.2.1

Divide cada término en $9 A = 6$ por $9$ .

$\frac{9 A}{9} = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Paso 1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 A}{9} = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Paso 1.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Paso 1.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1.2.3.1

Cancela el factor común de $6$ y $9$ .

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Paso 1.3.1.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$A = \frac{3 (2)}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Paso 1.3.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.1.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$A = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Paso 1.3.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$A = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Paso 1.3.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{2}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $6 = 3 A + 3 B$ por $\frac{2}{3}$ .

$6 = 3 (\frac{2}{3}) + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$6 = 3 (\frac{2}{3}) + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Paso 1.3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 8 = - 6 A + 3 C$ por $\frac{2}{3}$ .

$- 8 = - 6 (\frac{2}{3}) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.4.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.2.4.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$- 8 = 3 (- 2) (\frac{2}{3}) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.2.4.1.1.2

Cancela el factor común.

$- 8 = 3 \cdot (- 2 (\frac{2}{3})) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.2.4.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- 8 = - 2 \cdot 2 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 2 \cdot 2 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.2.4.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.3

Resuelve $C$ en $- 8 = - 4 + 3 C$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 4 + 3 C = - 8$ .

$- 4 + 3 C = - 8$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 C = - 8 + 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.3.2.2

Suma $- 8$ y $4$ .

$3 C = - 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$3 C = - 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $3 C = - 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $3 C = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 C}{3} = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 C}{3} = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- \frac{4}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $2 + 3 B = 6$ .

$2 + 3 B = 6$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 B = 6 - 2$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.4.2.2

Resta $2$ de $6$ .

$3 B = 4$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$3 B = 4$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.4.3

Divide cada término en $3 B = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.3.4.3.1

Divide cada término en $3 B = 4$ por $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 B}{3} = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.4.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{4}{3}, C = - \frac{4}{3}, A = \frac{2}{3}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} - 2 x + 3}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{\frac{4}{3 x} - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $3$ .

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Paso 1.5.1.1

Multiplica $\frac{\frac{4}{3} x - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{4}{3} x - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Paso 1.5.1.2

Combinar.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x - \frac{4}{3})}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (- \frac{4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{3}$ al numerador.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (\frac{- 4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Paso 1.5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (\frac{- 4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Paso 1.5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Paso 1.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.4.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3}) \cdot x - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Paso 1.5.4.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 x - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Paso 1.5.4.2

Factoriza $4$ de $4 x - 4$ .

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Paso 1.5.4.2.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x) - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Paso 1.5.4.2.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x) + 4 (- 1)}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Paso 1.5.4.2.3

Factoriza $4$ de $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Paso 1.5.5

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3$ .

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Paso 1.5.5.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Paso 1.5.5.2

Factoriza $3$ de $3 \cdot 3$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (3)}$

Paso 1.5.5.3

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x) + 3 (3)}$

Paso 1.5.5.4

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Paso 1.5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Paso 1.5.7

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{2}{3 x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{3 x} d x + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{4}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} d x$

Paso 6

Sea $u = x^{2} - 2 x + 3$ . Entonces $d u = (2 x - 2) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = (x - 1) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = x^{2} - 2 x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x^{2} - 2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 3]$

Paso 6.1.2

Diferencia.

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Paso 6.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 6.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Paso 6.1.4.2

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$2 x - 2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 (2)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u |) + C)$

Paso 11

Simplifica.

$\frac{2}{3} \ln (| x |) + \frac{2}{3} \ln (| u |) + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 2 x + 3$ .

$\frac{2}{3} \ln (| x |) + \frac{2}{3} \ln (| x^{2} - 2 x + 3 |) + C$